¿Qué es el infinito?

¿Qué es el infinito? ¿El número de granos de arena de una playa, o el de estrellas que vemos en el cielo? En realidad, semejantes cifras no están más cerca del infinito que otras más modestas como 2, 15 ó 3.089.

El gran matemático David Hilbert (en la imagen) ponía como ejemplo un hotel de infinitas habitaciones y un viajero que llega ve en la puerta el cartel que dice "completo". El conserje dice que el ocupante de la habitación 1 se mude a la 2, el de la 2 a la 3 y así sucesivamente. Así, la habitación 1 queda vacía; todos los ocupantes del hotel tienen, como antes, una habitación, y el hotel seguirá, también como antes, completo.

Ahora supongamos que en vez de llegar un solo viajero, llegaran infinitos. El conserje, esta vez, dice que el ocupante de una habitación se meta en la del doble de su valor (1 a la 2, 2 a la 4, 3 a la 6 ...). Ahora nos quedarán todas las habitaciones impares libres ... ¡infinitas! ¡y tan infinitas como antes!! El particular comportamiento del hotel de Hilbert es apenas una pequeña anomalía que se presenta al operar con el infinito.

El secreto está en la numeración de los huéspedes y las habitaciones. Por ejemplo, si ponemos 1,2,3, ... infinito (las habitaciones) y escribimos sobre ellos los pares (los huéspedes), tenemos:

2 4 6 8 10 12 ...
1 2 3 4 5 6 ...

Dada cualquier habitación conocemos el huésped que la ocupa. Y viceversa: dado cualquier huésped, sabemos qué habitación tiene. El infinito de los números positivos es el mismo que el de los pares. Lo mismo sucede con los negativos:

1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
1 2 3 4 5 6 7 8

Así, al huésped 20 le correspondería la habitación 39 y al -20 la 40. A la habitación 50 le corresponde el huésped -25 y a la 49 el 25; por tanto, el infinito de los números positivos es el mismo que el de los números positivos y negativos.

Esto, que se puede demostrar incluso con fracciones, deja de ser válido con los números irracionales (pi, raíz de 2, etc). Por tanto, el infinito de los números irracionales es más grande que el infinito de los números positivos. Nunca podríamos llenar el hotel de Hilbert con un número infinito de huéspedes con etiquetas irracionales.